基于OLS一元线性回归方程显著性检验之数学推导
广西财经学院, 中国-东盟统计学院, 广西南宁 530003
| 摘 要： | 一元线性回归在统计学和计量经济学的教学内容体系中具有独特的重要地位，它是理解和掌握多元线性回归的重要基础。然而，作为一元线性回归的重点和难点，关于OLS估计量性质与回归方程显著性检验往往缺乏系统的数学推导。为了对回归方程显著性检验进行系统的数学推导，论文首先梳理了高斯的五个基本假定和三大分布（卡方分布、t分布和F分布）的定义与数学特征；接着论证了回归方程OLS估计量满足线性特性、无偏性和有效性的特点，是最优线性无偏估计量（BLUE）；然后阐述了关于回归直线拟合优度判断的判定系数法和估计标准误差法，两种方法具有内在的一致性，估计标准误差越小，判定系数随之越大，意味着回归直线的拟合程度越好；最后通过证明SSR/σ2和SSE/σ2分别服从自由度为1和(n-2)的卡方分布，由此证明了t统计量和F统计量分别服从t分布和F分布，而且F检验与t检验、相关系数r显著性检验具有一致性。因此，在一元线性回归方程的统计检验中，不需要对整体线性关系、回归系数和相关系数同时进行统计显著性检验，只需要对三者之一进行统计检验即可。 |
| 关 键 词： | 一元线性回归; OLS估计量; 三大分布; 显著性检验; 拟合优度 |
| DOI： | 10.57237/j.wjms.2025.01.002 |
View:
Downloads:
收稿日期: 2025-01-19
接受日期: 2025-05-20
在线出版日期: 2025-06-30
Mathematical Derivation of Significance Test of Unitary Linear Regression Equation Based on OLS
China-Asean Institute of Statistics, Guangxi University of Finance and Economics, Nanning 530003, China
| Abstract: | Unitary linear regression plays a unique and important position in the teaching content system of statistics and econometrics. It is an important basis for understanding and mastering multiple linear regression. However, as the key and difficult point of unitary linear regression, the properties of OLS estimators and the significance test of regression equations often lack of systematic mathematical derivation. In order to derive systematically the significance test of regression equation, the paper first combs the five basic assumptions of Gauss and the definition and mathematical characteristics of three major distributions (Chi-square distribution, t-distribution and F-distribution). Then, it is demonstrated that the OLS estimator of the regression equation satisfies the characteristics of linearity, unbias and effectiveness, and it is the optimal linear unbiased estimator (BLUE). Then, expounds the determination coefficient method and the estimation standard error method about the judgement on goodness of fit for regression line. The two methods have intrinsic consistency. The smaller the estimation standard error is, the larger the determination coefficient is, which means the better the fitting degree of regression line. Finally, by proving that SSR/σ2 and SSE/σ2 obey the Chi-square distribution of freedom of 1 and (n-2) respectively, it is proved that t statistic and F statistic obey the t distribution and F distribution respectively, and the F test is consistent with the t test and the significance test of correlation coefficient r. Therefore, in the statistical testing of unitary linear regression equations, it is not necessary to test the statistical significance of the correlation coefficient, regression coefficient, and overall regression equation simultaneously. Only one of the three needs to be tested. |
| Keywords: | Unitary Linear Regression; OLS Estimator; Three Major Distributions; Test of Significance; Goodness of Fit |
基金
| 1. | 2022年度全国统计科学研究项目 (2022LY065) |
| 2. | 广西财经学院博士启动项目 (BS2021012) |
| 3. | 2024年度广西高等教育本科教学改革工程项目 (2024JGA324) |
| 4. | 广西财经学院校级本科教学改革工程项目 (2024XJJGYB16、2024XJJGYB22) |
参考文献
| [1] | 李子奈, 潘文卿. 计量经济学 [M], 高等教育出版社, 2005年4月: 30-43. |
| [2] | 贾俊平, 何晓群, 金勇进. 统计学 [M], 中国人民大学出版社, 2021年10月: 100-103. |
| [3] | 唐薇, 冯长焕. 一元线性回归模型的参数估计法的误差分析 [J], 宜宾学院学报, 2014年12期: 18-21. https://doi.org/10.3969/j.issn.1671-5365.2014.12.005 |
| [4] | 张晓峒. 应用数量经济学 [M], 机械工业出版社, 2009年3月: 88-94. |
| [5] | 李秀兰. 一元线性回归参数的估计 [J], 山西大同大学学报 (自然科学版), 2020年第6期: 24-26. https://doi.org/10.3969/j.issn.1674-0874.2020.06.008 |
| [6] | 肖翔, 许伯生, 张颖, 一元线性回归中最小二乘估计量的有效性 [J], 上海工程大学学报, 2011年第3期: 266-268. https://doi.org/10.3969/j.issn.1009-444X.2011.03.018 |
| [7] | 赵国庆. 应用计量经济学 (第二版) [M], 中国人民大学出版社, 2017年1月: 26. |
| [8] | 贾俊平, 何晓群, 金勇进.统计学 [M], 中国人民大学出版社, 2021年10月: 228-229. |
| [9] | 程海奎, 章建跃. 通过成对数据的统计分析发展学生的数据分析素养 [J], 数学通报, 2022年第3期: 7-17. https://doi.org/10.3969/j.issn.0583-1458.2022.03.002 |
| [10] | 陈武, 向杭, 陈尘. 一元线性回归方程估计标准误差的新认识 [J], 统计与决策, 2017年12期: 2+189. https://doi.org/10.13513/j.cnki.tjyjc.2017.12.003 |
| [11] | 周纪芗. 回归分析 [M], 1993年3月: 10-12. |
| [12] | 王蕊, 陈桂景.一元线性回归检验理论的证明 [J], 大学数学, 2009年第6期: 149-151. https://doi.org/10.3969/j.issn.1672-1454.2009.06.031 |
| [13] | 唐亚宁, 周丙常, 谢文贤. 一元线性回归方程的三种显著性检验的等价性分析 [J], 高等数学研究, 2022年第6期: 76-78. https://doi.org/10.3969/j.issn.1008-1399.2022.06.027 |
| [14] | 陈立强. 一元线性回归四种检验等效性证明 [J], 柳州职业技术学院学报, 2019年第4期: 92-94. https://doi.org/10.16221/j.cnki.issn1671-1084.2019.04.020 |
| [15] | 王天营. 一元线性回归分析中三种检验的等价性研究 [J], 统计与决策, 2011年第3期: 8-11. https://doi.org/10.13513/j.cnki.tjyjc.2011.03.008 |
